Китаев Александр Евгеньевич

Взаимопроницаемость рынков

 

Мы уже предложили в предыдущей работе описывать динамику развития отрасли хозяйства уравнением такого вида:

 

где x – суммарный капитал всей отрасли. F(x) – это фактически производственная функция, параметром ее является капитал отрасли, а на выходе – отношение прироста капитала за промежуток времени к величине этого промежутка (при стремлении промежутка времени к нулю).

Конкретизировать вид производственной функции можно таким образом, записывая линейный мультипликаторный член и квадратичный по x член, ответственный за конкурентное торможение:

 

 

За счет квадратичного торможения при стремлении времени к бесконечности наступает эффект насыщения – значение x стабилизируется около величины x=a/b=V. Мы назвали ее емкостью рынка. Уточним, что в маркетинге емкостью рынка называют платежеспособный спрос на какой-то товар (количество товара по данной цене, которое потенциально может купить население за какой-то период). Мы же понимаем под этим суммарный капитал всех фирм, работающих в данной отрасли. Как соотносятся эти величины между собой?

В экологии численность популяции животных при отсутствии хищников описывается аналогичным уравнением (логистическим уравнением или уравнением Ферхюльста, как его еще называют). Причем утверждается, что емкость популяции (предел численности популяции при стремлении времени к бесконечности) определяется наличием пищевой базы (или убежищ).То-есть максимальное количество оленей в некотором ареале (районе) определяется максимальным количеством травы, которую можно съесть, допустим, за день на лугах ареала. Как конкретно зависит первое количество от второго? Увеличивается пищевая база – увеличивается максимальное число животных. Скорее всего зависимость прямо-пропорциональная. В нашей модели аналог пищевой базы – платежеспособный спрос (потенциальное количество товаров, которое население готово купить, допустим, за день). А аналог емкости популяции – это емкость рынка.

На основании всего этого сделаем предположение: емкость рынка отрасли в нашем смысле (обозначим ее V) пропорциональна платежеспособному спросу V_t (то-есть количеству товаров этой отрасли, которое население потенциально готово купить за какой-то период)

V=qV_t,

а капитал отрасли x(t) пропорционален реальным  покупкам товаров отрасли потребителями (за этот же период) x_t(t), причем с таким же коэффициентом пропорциональности

x=qx_t.

То же самое можно сказать и о капитале фирм, составляющих отрасль (при условии, что каждая фирма использует свой капитал оптимальным для этой отрасли способом).

 

 Вернемся к эффекту насыщения. Повторюсь – насыщение означает, что при устремлении времени в бесконечность функция x(t) все ближе и ближе стремится к некоторому постоянному значению.

Отметим, что причиной насыщения могут для разных отраслей хозяйства в разных случаях служить различные факторы.

Первая причина (назовем ее физической причиной насыщения) – невозможность дальнейшего роста оттого, что исчерпаны все ресурсы. Допустим, в случае выращивания хлопка в некой стране – распаханы все поля, применена самая современная агротехника, урожайность вследствие этого достигла максимума. Конечно, возможно временами за счет развития научно-технического прогресса дальнейшее улучшение урожайности, но будем считать такие скачкообразные изменения урожайности за счет улучшения технологии достаточно редким явлением (то-есть фактически не будем учитывать).

Вторая (назовем ее рыночной причиной) – невозможность дальнейшего роста оттого, что дополнительное количество хлопка не находит покупателя. Рынок перенасыщен.

Первой причине насыщения (физической) соответствует емкость рынка W, а второй (рыночной) – V. Будем рассматривать ситуацию, когда V значительно меньше W. Кроме того капитал отрасли почти достиг насыщения (причем  x близко именно к V, так как V<W). Итак, пусть рассматриваемые нами отрасли работают в условиях насыщения, но насыщение обусловлено рыночными причинами, а до физического насыщения еще далеко.

Рассмотрим для простоты два рынка. Пусть первый рынок – рынок строительства (его емкость – V₁), а второй – рынок продуктов питания (V₂). Сделаем предположение, что в наших условиях (смотри предыдущий абзац) величины V для обоих рынков зависят друг от друга.

V₂ зависит от V₁ – если есть деньги на рынке строительства (люди и фирмы готовы платить за услуги строительства), то часть их перейдет к строительным рабочим, и они захотят их потратить на продукты.

В свою очередь V₁ зависит от V₂ – если есть деньги на рынке продуктов (а это значит, что есть ненулевая емкость рынка продуктов, ведь спрос и емкость рынка пропорциональны, как мы предположили), то часть этих денег перейдет к владельцам пищевых фабрик и магазинов продуктов питания, которые, возможно, захотят потратить их на строительство (расширить свои производственные площади).

Таким образом круг замкнулся. Делаем вывод, что некоторые рынки взаимосвязаны таким образом, что деньги с одного рынка «просачиваются» со временем на другой. Причем в ряде случаев возникают петли, зацикливания, как в вышеописанном случае.

Как выразить все это математически? Введем еще некоторые упрощения. Будем считать, что строительная и пищевая промышленность – это единственные отрасли хозяйства в некой воображаемой стране. И сумма емкостей рынка V₁ и V₂ равняется V₀ – полному количеству денег в стране.  Пока мы не уточняем, является ли V₀ константой или нет.

Попробуем выразить взаимосвязь между V₁ и V₂ такой системой дифференциальных уравнений:

 

Смысл второго уравнения: изменение емкости рынка продуктов за некоторый промежуток времени пропорционально величине этого промежутка (при стремлении величины промежутка к нулю), а коэффициент этой пропорциональности является линейной функцией от емкости рынка строительных услуг. Коэффициент a₂₁ связан с эластичностью рынка продуктов. Если он равен или близок нулю, то увеличение количества денег у строительных рабочих (за счет увеличения количества денег на строительном рынке), что равнозначно относительному удешевлению продуктов, не приведет к росту емкости рынка продуктов (то-есть спроса на продукты, ведь эти величины пропорциональны, как мы предположили). Можно считать, что коэффициент a₂₁ равен произведению безразмерной эластичности рынка продуктов e₂ на величину G₁, размерность которой обратна размерности времени. Чем больше G₁, тем быстрее перекачиваются деньги от потребителей строительных услуг к тем, кто их оказывает (строительным рабочим и хозяевам строительных фирм).

Аналогичные рассуждения можно провести и для первого уравнения.

Величину a_kn назовем коэффициентом отклика k-го рынка на емкость n-го рынка. Он таким образом связан с эластичностью:

a_kn=e_kG_n

где e_k – это эластичность k-го рынка.

            Найдем стационарную точку нашей системы уравнений (V₁₀,V₂₀). Для этого приравняем производные по времени нулю.

 

Эти выкладки справедливы, если V₀ представляет собой постоянную величину.

           

            Вспомним, что к двум дифференциальным уравнениям нашей системы нужно прибавить еще одно алгебраическое:

V₁+V₂=V₀

 

Пользуясь этим, выведем соотношение, связывающее четыре коэффициента a₁₀, a₁₂, a₂₀, a₂₁ (для постоянного V₀).

Кстати, разумно предположить, что введение переменного V₀ не повлияет на соотношение между коэффициентами. То-есть первый шаг: считая V₀ постоянным, мы доказываем, что между коэффициентами, описывающими нашу модель должно выполняться это соотношение. Шаг второй: предполагаем, что если считать V₀ переменным, а коэффициенты такими же (то-есть подчиняющимися этому соотношению), то наша модель по-прежнему будет адекватна.

Зависимость от времени V₀ (общего количества денег) должна определяться правительством нашей воображаемой страны. Пусть V₀=const, т.е. общее количество денег постоянно (так мы и полагали, напоминаю, выше при получении стационарной точки и при выводе соотношения, связывающего коэффициенты a_ij). Рассмотрим динамику V₁ во времени.

 

 

Решение такое:

 

 

где C –произвольная константа, определяемая начальными условиями.

Видно, что решение с течением времени приближается к стационарной точке (если V₀ постоянно, повторю). Точно так же обстоят дела и для V₂.

            Итак, постоянство V₀ позволяет легко «расцепить» систему и перейти для каждой из величин V₁,V₂ к дифференциальному уравнению первого порядка, содержащему лишь эту величину. При этом стационарная точка устойчива.

 

            Сделаем важный шаг – попробуем отказаться от этого обременительного условия – V₀=const, то-есть от постоянства количества денег. Вообще пока не будем уточнять закон изменения V₀. Рассмотрим поведение нашей системы при малых отклонениях от стационарной точки.

При подстановке в нашу систему получаем

Продифференцировав первое уравнение и подставив в него производную величины y₂ из второго, получим дифференциальное уравнение второго порядка для y₁.

Аналогично – для величины y₂.

Стационарная точка в данном случае является неустойчивой. Величины y₁,y₂ (напомню, что y₁=V₁-V₁₀, то же самое для y₂) растут пропорционально

 

Сумма емкостей рынка V₁ и V₂, то-есть суммарное количество денег в стране, тоже растет пропорционально

 

то-есть экспоненциально.

Вывод – если государство в нашей модели допустит эмиссию денег по экспоненциальному закону и подберет коэффициент роста экспоненты D равным квадратному корню из произведения двух взаимных коэффициентов отклика, то емкость рынков начнет экспоненциально расти. Более общий вывод – если «вбросить» на один из двух рынков некоторое количество денег (например на строительный рынок), то стационарная точка перестанет быть устойчивой, и емкость рынков вырастет. Вновь обращаю внимание – рынки должны быть «зациклены», взаимосвязаны, если «петлю» разорвать, то-есть один из двух коэффициентов отклика приравнять нулю, то роста рынков не получится.

Позитивный пример вброса денег: правительство страны печатает порцию денег и платит их строительным фирмам за строительство сети  дорог. Желательно привлечение к этим работам безработных. Дальше все происходит так, как мы уже обсудили. Часть новых денег идет на зарплату рабочих, вследствие этого растет спрос на продукты, владельцы продуктовых магазинов и пищевых фабрик решают расширить свои площади и дают заказы на строительство тем же строительным фирмам. Таким образом оживление охватывает обе отрасли промышленности нашей воображаемой страны.

Если же рабочие захотят приобрести не отечественные продукты, а импортные, ситуация станет хуже. Цепочка разомкнется. По крайней мере произведение двух взаимных коэффициентов отклика будет существенно меньше. Хотя в строительной отрасли все равно будет наблюдаться  оживление (математическое обоснование этих утверждений здесь проводить не будем, ограничимся качественными рассуждениями), так как вброс денег проводится именно туда. Обогатятся также фирмы, занимающиеся импортом продуктов (хотя в самом начале при описании нашей воображаемой страны мы договаривались о наличии там всего двух отраслей, сейчас допустим существование и небольшой третьей отрасли – внешнеторговой).

Негативный пример – деньги просто раздаются нуждающимся людям, далее они их тратят не на отечественные продукты, а на импортные. Иностранные же производители продовольствия для расширения своего дела никаких заказов отечественной стройиндустрии не дают. Оживление затрагивает лишь фирмы-импортеры продуктов. Отечественная стройиндустрия и производители продуктов остаются в состоянии застоя.

 

Вернемся к позитивному варианту развития событий. В начале работы мы упоминали, что рассматриваемые отрасли работают в условиях насыщения. Но если емкость рынка увеличилась, отрасль должна расти, стараясь догнать емкость рынка. Попытаемся изучить этот вопрос с помощью дифференциального уравнения, приведенного в начале работы (так называемого логистического уравнения), но считая коэффициент b не постоянным, а зависящим от времени.

Пусть емкость рынка такова:

Дифференциальное уравнение приобретает такой вид:

Будем искать решение в виде

-неизвестные.

 

Подставляем это решение в уравнение:

Если , то

или A=0

 

Итак, получается решение

Никаких произвольных постоянных в решение не входит, амплитуда строго привязана к емкости рынка (под амплитудой здесь понимается коэффициент при экспоненте).

Параметр a можно назвать коэффициентом свободного развития отрасли (имеется ввиду экспоненциальное развитие вдали от режима насыщения, то-есть задолго до его наступления). Мы видим, что для положительности решения требуется, чтобы коэффициент раскрутки рынка был меньше коэффициента свободного развития отрасли:  D<a.

Отношение емкости рынка к уровню развития отрасли (не зависящее от времени):

Таким образом рынок при реализации такого решения всегда немного недонасыщен. Следовательно, может иметь место небольшая инфляция (математическую модель инфляции мы здесь не рассматриваем).

Мы нашли всего одно решение из семейства возможных. Назовем его «основным». И попробуем исследовать на устойчивость.

Слегка изменим, «проварьируем» найденное «основное» решение таким образом:

Будем считать, что функция m(t) стремится к нулю (мала), чтобы можно было пренебречь ее квадратом. При подставлении такой функции x в уравнение, получаем:

Членом, пропорциональным m², пренебрегаем. Для m получается такое дифференциальное уравнение

C – это произвольная константа. Видно, что при увеличении времениm  стремится к нулю (если a-D>0)

            Запишем решение с учетом добавки (помним, что это все-таки не полное решение, а небольшое отклонение от «основного»).

Если D<a/1.5, то при малых C и времени, стремящемся к бесконечности, решение стремится к «основному» -  к x₀(t) (т.е. «основное» решение устойчиво). Это несколько более строгое ограничение на коэффициент раскрутки рынка, чем полученное ранее:

D<a.

 

Итак, если считать равновесием  равенство капитала отрасли емкости рынка (другими словами когда предложение сравняется со спросом), то в условиях экспоненциального роста емкости рынков V(t) капиталы отрасли x(t) не успевают ее догнать. В случае же постоянной емкости рынка через некоторое время капитал отрасли выходит на стационарный режим и становится равным емкости рынка. Если недонасыщение рынка будет приводить к негативным побочным эффектам, возможен режим временных остановок эмиссии, чтобы в условиях постоянной емкости рынка капиталы отрасли успели сравняться с емкостью рынка.

В конечном итоге возможно, что рост емкости рынка за счет такой финансовой стимуляции в конце концов упрется в потолок физических причин (смотри начало работы). Повышение его возможно за счет научно-технического прогресса.

 

 Назад на главную страницу.

Скачать в формате .doc