Китаев Александр Евгеньевич
Математическое исследование инфляции
Отчего и как меняются цены? В модели Эванса предполагается – «цена изменяется в зависимости от соотношений между спросом и предложением» (В.И.Малыгин, «Математика в экономике», 2002, стр.192). Более конкретно:
Dp=g(d-s)Dt
Здесь p – цена, d – спрос, а s – предложение. То-есть изменение цены за какой-то промежуток времени пропорционально разности спроса и предложения (а также величине этого промежутка времени). Или, если записать это соотношение в виде дифференциального уравнения, устремляя промежуток Dt к нулю:
(точка над p означает дифференцирование по времени).
Итак, словами: производная цены товара по времени прямо пропорциональна разности между спросом и предложением этого товара (с коэффициентом пропорциональности g). Чем больше этот коэффициент, тем быстрее при изменении спроса или предложения цена «срелаксирует» к своему новому значению.
Вспомним, что, вообще говоря, и спрос, и предложения являются функциями цены:
d=a-bp
s=a+bp
С учетом этого и уравнение, и его решение записываются так:
где C – произвольная постоянная. Итак, это уравнение фактически описывает процесс линейной релаксации или затухания некоторой величины (в данном случае цены). Аналогичными уравнениями описываются затухающие процессы в электрических цепях, например перезарядка конденсатора. В данном случае так называемое время релаксации – это величина, обратная к g(b+b). Время релаксации – это время, за которое экспоненциально затухающее слагаемое уменьшится в e раз (то-есть примерно в 2,7 раз).
Вот как происходит «жизнь цен» по этой модели: пусть коэффициенты a,b,a и b, входящие в выражения для спроса и предложения определены и неизменны во времени. Цена, выйдя на постоянный уровень (a-a)/(b+b), и в дальнейшем остается неизменной. Но вот из-за каких-то случайных факторов спрос или предложение изменились (например, произошла война). В нашей модели это можно учесть скачкообразным изменением коэффициента a (в случае спроса) или a (в случае предложения). После этого цена начинает «релаксировать» к новому стационарному значению. И после того, как истечет «время релаксации», цену снова можно считать постоянной.
Выразим эту же мысль немного по-другому. Взглянем снова на решение. Оно представляет собой разность двух величин. Первая – это константа, равная (a-a)/(b+b). Это фактически есть стационарное значение цены. Вторая же величина – переменная. Она экспоненциально затухает. Влияние случайных факторов мы учитываем скачкообразным изменением первой величины (постоянной). Пусть вас не пугает, что изменилась постоянная величина. Она постоянна, только если мы пренебрегаем случайными событиями (факторами).
Повторим еще раз главное утверждение нашей модели: изменение цены за промежуток времени прямо пропорционально разности между спросом и предложением. То-есть цена изменилась, потому что есть разница между спросом и предложением. Я сформулировал бы это все несколько по-другому, введя в рассуждения некоторую промежуточную величину – желание. Цена изменилась, потому-что продавцы пожелали ее изменить. А пожелали они после того, как увидели разницу между спросом и предложением. То-есть их желание пропорционально разности между спросом и предложением. Я уверен, что сила желания определяется каким-нибудь физическим носителем, возможно концентрацией в крови какого-нибудь вещества, и ее можно измерить. Аналогично – для функции полезности (это уже экскурс в другой раздел экономической теории). Я думаю что уровень полезности на выходе этой функции также имеет свое материальное воплощение, которое можно, в принципе, измерить. Возможно, это уровень эндорфина в нашей крови. Но, впрочем, это все лирическое отступление, введение «силы желания» математическую модель для рассматриваемого явления (изменения цен во времени) в данном случае не изменит.
Вернемся к уравнению, описывающему изменение цены. В качестве цены можно иметь ввиду усредненную цену всех товаров (P). А в качестве спроса и предложения – полный платежеспособный спрос на все товары (D) и полное предложение, то-есть все выпускаемые промышленностью товары (S). Тогда уравнение
фактически описывает изменение среднего уровня цен в стране. В случае роста цен, который возникнет, например, после внезапного скачкообразного повышения D, это изменение P можно считать инфляцией.
Точно так же, как и в случае одного товара, полный спрос и полное предложение зависят от среднего уровня цен:
D=a-bP
S=a+bP
В одной из предыдущих работ («Уравнение для развития отрасли или фирмы») было предложено описывать динамику развития отрасли хозяйства уравнением такого вида (с точностью до обозначений):
где x – суммарный капитал всех предприятий отрасли. Квадратичный член ответственен за конкурентное торможение развития. Это так называемое логистическое уравнение.
Можно попробовать описывать таким же уравнением развитие всего хозяйства страны. В этом случае x – это суммарный капитал всех фирм страны.
В работе «Взаимопроницаемость рынков» мы предположили, что капитал отрасли пропорционален реальным закупкам потребителями товаров, произведенных отраслью (за какой-то промежуток времени). Это позволяет в данном случае рассматривать не динамику капитала отрасли, а динамику производства отрасли (обозначим как y(t)). И описывать ее тем же уравнением с квадратичным торможением. Итак y(t) – это производство товаров за какой-то промежуток времени (фактически предложение товаров).
В конечном итоге предполагаем
следующее: предложение товаров отраслью (или хозяйством всей страны)
описывается таким уравнением:
“D” – это потенциальный платежеспособный спрос населения. Именно наличие конечного спроса ограничивает рост производства. “k” - это линейный коэффициент роста. y(t) будем измерять в денежных единицах (за промежуток времени).
В двух предыдущих работах не акцентировалось внимание на проблеме инфляции, то-есть изменения (увеличения) цен во времени. Попробуем сделать это сейчас.
Во-первых, учтем, что y(t)=n(t)P(t), где n – это количество всех товаров, а P – это их усредненная цена. Тогда
Во-вторых запишем уравнение для инфляции (изменения цен), считая, что входящее туда предложение – это есть y=nP (постоянный член в выражении для предложения таким образом мы положили равным нулю).
В заключение учтем, что D зависит от P:
D=a-bP.
Получаем систему двух дифференциальных уравнений:
для зависимых от времени функций n(t) – количества товаров и P(t) – их средней цены. k,a,b и g - коэффициенты (вообще говоря
постоянные, но можно считать их и переменными, с наперед заданной временной
зависимостью).
Если мы будем искать стационарные точки этой системы, приравняв нулю производные, то мы обнаружим, что стационарных точек бесконечное количество, причем они лежат на кривой в плоскости (n,P):
P=a/(n+b)
Ясно и без математических моделей, что если в какой-то момент времени имеется неудовлетворенный спрос (например скачкообразно увеличилось значение коэффициента a), то его «удовлетворение» возможно как путем увеличения выпуска товаров, так и путем повышения цен (инфляции). Фактически полученная система уравнений описывает эволюцию отрасли смешанным путем – растут и цены, и производство в натуральных единицах. Мы не будем здесь углубляться в ее решение, отметим лишь, что при стремлении к нулю коэффициента g цены не растут (dP/dt=0), и удовлетворение спроса идет за счет «настоящего» роста – роста выпуска продукции в натуральных единицах (например, в штуках). Если, конечно, другой коэффициент (k – линейный коэффициент роста) отличен от нуля.
Вернемся ко второму уравнению нашей системы, следующему из модели Эванса. Попробуем его «модернизировать». Обычно в экономике предполагают, что спрос и предложение являются линейными функциями цены. Попробуем учесть такое реально имеющее место явление – если цена на товар растет, то спекулянты скупают этот товар, чтоб потом его с выгодой перепродать. Если еще подумать, то можно прийти к выводу, что также спекулянты попытаются побыстрее сбыть с рук дешевеющий товар. Итак, выдвинем предположение: и спрос, и предложение зависят не только от цены, но и от ее производной по времени.
Предложим такое выражение для спроса:
Если цена растет (dP/dt>0), то спрос возрастает, так как спекулянты скупают растущий по цене товар, чтобы его потом перепродать.
А для предложения наше предложение таково:
Смысл этого: если цена снизилась ((dP/dt<0), то предложение возрастает, так как спекулянты стремятся быстрее сбыть с рук дешевеющий товар.
Подставим эти выражения в дифференциальное уравнение модели Эванса.
Видно, что модификация уравнения свелась лишь к замене коэффициента g на
g/(1-g(X+c))
Решение уравнения такое:
При увеличении от нуля коэффициентов X и c показатель экспоненты увеличивается, то-есть цена «релаксирует» к своему равновесному стационарному значению быстрее. Но это до определенного предела. Обратим внимание, что если
g(X+c)>1,
то показатель экспоненты меняет знак (проходя перед этим через бесконечное значение). Зависящее от времени слагаемое в формуле для цены становится не затухающим, а экспоненциально возрастающим (имеется ввиду рост по абсолютному значению). Стационарное же значение цены
(a-a)/(b+b)
становится неустойчивым.
От чего зависят коэффициенты X и c? Они зависят от доли, которую составляет спекулятивный капитал от общего капитала страны. Уточню – под спекуляцией я здесь понимаю деятельность по извлечению прибыли из изменения цен во времени. При решении дифференциального уравнения мы полагали, что эти коэффициенты представляют собой константы. Но на самом деле это переменные величины. Мы не будем здесь строить модели для этих коэффициентов. Отметим лишь, что переток капитала в спекулятивный определяется прежде всего прибылью спекуляций. Эту прибыльность можно попытаться описать превышением коэффициента линейного роста в этой отрасли (спекулятивной) над средним по отраслям. То-есть приращение капитала какой-то отрасли за промежуток времени вероятно определяется соотношением:
dK=G(k-kсред.)dt
G – это некоторый коэффициент пропорциональности, k – коэффициент линейного роста в отрасли, куда перетекает капитал, dK – приращение капитала отрасли за промежуток времени. Далее в этот вопрос мы углубляться не будем.
Итак, при наличии спекулятивного капитала цены меняются значительно быстрее (то-есть быстрее реагируют на колебания спроса и предложения). Если доля спекулятивного капитала растет, то есть опасность, что стационарные значения цен потеряют устойчивость, и цены начнут неограниченно увеличиваться (или падать). Ясно, что такое экспоненциальное изменение должно быть ограничено какими-то факторами (возможно похожими на квадратичное торможение в логистическом уравнении, а возможно другими), но в создание моделей этих факторов мы не стали углубляться (как я уже отметил выше). Скажем лишь, что для остановки экспоненциального повышения цен можно прежде всего изменить спрос или предложение скачкообразным изменением коэффициентов a и a. Но ясно, что при наличии неизменного показателя экспоненты экспонента все равно будет неограниченно расти (по абсолютному значению), и эту операцию придется повторять вновь и вновь. Более радикальное средство – повлиять на коэффициенты X и c (уменьшить их), то-есть ограничить или снизить долю спекулятивного капитала (спекулятивных операций) в экономике или отрасли. Для предотвращения такого экспоненциального изменения цен также необходимо каким-либо образом затруднить переток капитала в «спекулятивную» отрасль (например снизить прибыльность спекуляций).
