В микроэкономике используется понятие производственной функции:

Китаев Александр Евгеньевич

Динамика развития отрасли или фирмы.

В микроэкономике используется понятие производственной функции (с одним переменным – именно этот вариант мы будем здесь рассматривать):

Q = F(P)

где Q – это выход продукта (допустим количество произведенных тонн песка на песчаном карьере, автомобилей на автомобильном заводе или шкафов для посуды в столярной мастерской). Выход продукта может естественно измеряться и в денежных единицах, представляя собой стоимость произведенной продукции. P – это затраты какого-либо ресурса (например количество вложенного капитала или количество занятых рабочих). Часто под выходом подразумевается выпуск продукции за единицу времени (за год, за месяц, за день). Тоже самое возможно и для параметра P, например его можно понимать как ежемесячные затраты на зарплату, если P – трудовой ресурс. Но в качестве P может пониматься и «абсолютная величина» ресурса (не в единицу времени), например это может быть количество занятых рабочих или единовременные затраты капитала (т.е. разовые, а не ежемесячные или ежегодные), допустим на строительство цехового здания.

Мы же в нашем исследовании будем считать, что и на выходе и на входе производственной функции (под входом подразумевается уже обсужденный параметр P) имеется один и тот же продукт. То-есть и потребляемый ресурс, и производимый продукт – это одни и те же «предметы», допустим зерно или деньги. Единственная разница – на входе (то-есть в качестве параметра ) – абсолютное значение этого ресурса, а на выходе – изменение этого количества в течение какого-то промежутка времени Dt (за год, за месяц или за день).

Dx = F(x) Dt

где Dx – это изменение ресурса за промежуток времени Dt (от t до t+Dt), а x – это абсолютное значение этого ресурса в некоторый момент t.

Фактически, договорившись о том, что на выходе изменение того же самого ресурса, что подан на вход, мы «зациклили» вход и выход производственной функции.

F(P)

Q P

Примеры – что может подразумеваться под x. Если производственная функция описывает общину крестьян, то x – это количество мешков зерна (запас) в какой-то момент времени. А Dx – это прирост этого зерна за год (после сбора урожая). Для того, чтоб собрать это зерно (Dx), крестьяне должны питаться, то-есть какой-то запас зерна необходим (на входе производственной функции). Другой пример – промышленная фирма. Dx – это ежедневный выпуск продукции в рублях (прирост капитала). Для того чтобы этот выпуск производился, то-есть чтобы фирма функционировала, естественно необходимо, чтобы был вложенный в дело капитал (например в виде построенного здания и закупленных станков). Этот капитал (тоже в рублях) – есть x (параметр производственной функции, то-есть ее вход). Возможно также, что x – запас денег у купца, а Dx – прирост денег за один месяц торговых операций.

Каков же вид функции F(x)? Самое простое, что можно придумать – это Dx прямо пропорционально x. Или

F(x) = kx

Или

Dx=kx Dt

Это вполне разумно при не очень большом уровне капитала нашей фирмы – прирост денег за какой-то промежуток времени пропорционален вложенному в дело капиталу (и этому промежутку времени). Все происходит согласно принципу «деньги делают деньги». Аналогично для крестьян – чем больше запас на начало сезона, тем лучше они будут питаться на протяжении рабочего сезона и тем лучше они будут работать, что положительным образом скажется на урожае. В данном случае хлеб делает хлеб. То-есть хлеб съедается (и, возможно, обменивается на необходимые для сельскохозяйственного производства вещи), и сытые, полные сил крестьяне выращивают новый хлеб.

Можно записать это уравнение немного по-другому:

Или, устремляя Dt к нулю, перейдем к дифференциальному уравнению:

Чему равен коэффициент k? Уточним его понимание. Допустим наше предприятие работает таким образом, что 100 рублей капитала (переменная x), имеющегося на 1 января 200n-го года, через сутки превращаются в 101 рубль, через неделю (7 дней, отсчитанные от того же момента, то-есть именно через неделю после 1 января, а не после 1 января плюс один день) – в 107 рублей 25 копеек, а через месяц (31 дней от того же момента 1 января) – в 136 рублей и, наконец, через 90 дней (квартал) – в 246 рублей. Соответствующие значения прироста (Dx) – за 1 день это 1 рубль, за 7 дней – 7 рублей 25 копеек, за 31 день – 36 рублей, за 90 дней – 146 рублей. Все это, повторяю, экспериментальные данные (в данном случае вымышленные).

Теперь вычислим приближенные значения коэффициента k по формуле

Получим следующий ряд значений: - 0,01; 0,01036; 0,01161; 0,01622. При уменьшении Dt приближенное значение k явно стремится к 0,01 (самое первое из вышеприведенных чисел). Это число в данном случае мы и будем считать истинным значением коэффициента k (коэффициента роста).

Итак, еще раз – алгоритм вычисления такой – берем уменьшающиеся значения промежутка времени Dt. Для времен (t+Dt), где t это какой-то начальный момент времени, находим x и, соответственно, Dx=x(t+Dt)-x(t). Далее вычисляем приближенные значения k по вышеприведенной формуле. Если при уменьшении Dt мы наблюдаем явное стремление приближенного k к какому-то пределу, то это предельное значение и берем за истинное значение k.

Добавление – если значения x колеблющиеся, негладкие, можно попытаться их «выровнять», усреднить (по времени).

Для наглядности приведу вышеуказанные значения в виде таблицы:

Промежуток времени (дельта)t	Прирост x	x	k (приближенное значение)
1	1	100	0,01000
7	7,25	100	0,01036
31	36	100	0,01161
90	146	100	0,01622

И в виде графика:

Полученное нами уравнение является простейшим линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Для тех, кто подзабыл вузовский курс математического анализа приведу его последовательное решение. Основная идея – домножением и делением обеих его частей добиться того, чтобы левая часть зависела только от x, а правая часть – лишь от t. После этого проинтегрировать обе части, а потом взять экспоненту от обеих частей.

Итак, приступаем:

Итак – решение данного уравнения есть экспоненциальная кривая. Размерность коэффициента k – это величина обратная времени (в вышеприведенных вычислениях мы использовали дни в качестве единицы измерения времени). Кроме вышеописанного этот коэффициент роста имеет и такой смысл – величина, обратная ему, равна промежутку времени, за который решение вырастет в e раз, то-есть в 2,7 раз. В нашем примере k=0,01, а время измеряется в днях. Значит наш капитал вырастет в 2,7 раз за 100 дней.

Аналогичное простое уравнение рассматривается в экологии (введено Мальтусом в 1798 году), где описывает неограниченное возрастание численности популяции животных.

Убыль популяции описывается таким же дифференциальным уравнением, только знак коэффициента роста другой.

Решением этого уравнения будет убывающая экспонента:

Основанием для вывода такого дифференциального уравнения служит пропорциональность убыли членов популяции за какой-то промежуток времени самому этому промежутку времени и численности популяции (точно так же как и для роста)

Dx=-Dx Dt

Здесь в качестве D обозначено приближенное (для конечного, не стремящегося к нулю Dt) значение для коэффициента роста (убыли в данном случае).

А основанием для этой пропорциональности могут служит такие житейские наблюдения. Допустим, мы живем в многоэтажном многоквартирном доме в городе N. Мы можем заметить, что примерно раз в год у подъезда нашего дома появляется обитая красным или каким-либо другим материалом крышка гроба – к глубокому прискорбию родственников умирает кто-то из соседей. Примерно такая же печальная статистика и в соседнем доме. Итак, в двух домах за год умирает в среднем два человека. В одном доме за два года – тоже среднем два человека. Наши наблюдения подтверждают, что пропорциональность количества умерших (в каком-то коллективе за какой-то промежуток времени) промежутку времени и численности коллектива – вполне разумное предположение.

Коэффициент роста за счет рождений можно обозначить не k, а k_b(от birth)_.Коэффициент убыли, напомню, мы обозначили k_d. Если в популяции имеют место и рождения, и смерти, то уравнение, описывающее ее численность, будет таким:

Его решение может быть и возрастающим, и убывающим, в зависимости от знака разности коэффициентов положительного и отрицательного роста. Если же эти коэффициенты скомпенсируют друг друга, решением будет константа (не зависящая от времени функция).

Капитал отрасли хозяйства или фирмы таким образом рассматривается как популяция живых организмов, увеличивающая свою численность или сокращающая. То-есть рубли или доллары аналогичны в этой модели живым организмам. Только смерть конкретного рубля означает его переход к другому хозяину, а не физическое уничтожение (хотя в качестве редкого частного случая убыли можно рассмотреть и такую возможность). Рождение же рубля – это когда он появился в рассматриваемой отрасли или фирме в результате удачной деловой операции (можно сказать, что заработан).

Но известно, что при численном росте популяции животных возможна ситуация, когда перестанет хватать пищи. Чисто экспоненциальный рост возможен только в ситуации избытка пищи. Если ее перестает хватать, возникает конкуренция. Рост популяции замедляется. Внимание – этим мы полагаем, что коэффициент роста k зависит от численности популяции и уменьшается при увеличении этой численности (x). Какова простейшая функция от x? Линейная. То-есть:

k=k(x)=a-bx

Запишем соответствующее значение для производственной функции (это понятие применимо не только к производству каких-то товаров, но и к производству живых организмов живыми организмами – математическая модель сходная):

F(x)=(a-bx)x=ax-bx²

Дифференциальное уравнение же принимает такой вид:

Преобразуем его правую часть:

Здесь a естественно назвать линейным коэффициентом роста (в отличие от просто коэффициента роста k), b – квадратичным коэффициентом торможения. Величину V (выражается через a и b) в экологии называют емкостью популяции. Для популяции высших животных она определяется наличием пищевой базы или убежищ. В применении к экономике эту величину естественно назвать емкостью рынка. То-есть если исследуемая отрасль – это производство пива в городе N, то V – это емкость рынка пива в этом городе. Уточним – под емкостью рынка пива здесь понимается общая сумма капиталов фирм города, производящих пиво, а не максимальная стоимость пива, которое может выпить население за какой-то период времени (как это принято в маркетинге). Емкость рынка в маркетинговом смысле по сути является платежеспособным спросом на пиво, и лучше ее так и называть.

Порассуждаем – что может представлять из себя это дополнительное квадратичное торможение? «Внутреннее устройство» и причины его скрыты за коэффициентом b. В случае экологии это может быть дополнительная смертность животных в столкновениях из-за источников питания, а может быть просто смерть от голода тех, кому не хватило пищи (в условиях обострившегося ее недостатка). Может быть это и реальное снижение рождаемости (голодные животные реже дают потомство). В экономике это по-видимому всевозможные дополнительные расходы, вызванные конкуренцией между фирмами, действующими на одном и том же рынке (в том числе на рекламу), а также недобор дохода из-за той же конкуренции. Возможно это и расходы на усложняющуюся структуру управления при укрупнении фирм.

Как определить величину этого квадратичного торможения (конкретно – коэффициент b)? Сразу на ум приходят два способа. Если нам каким-либо способом стала известна производственная функция, допустим, в графическом виде, то можно определить параметры a и b из этой кривой. Другой вариант – если нам с помощью каких-либо маркетинговых исследований стала известна емкость рынка, а также известен ежедневный прирост капитала при малых объемах капитала, то сперва мы найдем линейный коэффициент роста, исходя из ежедневного прироста капитала (см. начало работы), а потом, зная его (a), найдем b=a/V – квадратичный коэффициент торможения.

Данное уравнение называют уравнением Ферхюльста (1848 год). Кроме того его называют логистическим уравнением, а его решение – логистической кривой.

Кстати, похожие уравнения описывают также процессы в химической кинетике. Там член kx называют автокаталитическим членом. Для экономических процессов его можно назвать «мультипликаторным» членом (умножительным), так как он определяет рост (приумножение) капитала.

Прежде всего найдем стационарные точки логистического уравнения (где скорость изменения x нулевая). Для этого приравняем правую часть нулю.

Итак, получаются два стационарных (равновесных) состояния. Нижнее (x=0) неустойчиво, верхнее (x=V) – устойчиво. Устойчивость означает, что в случае небольшого отклонения от состояния равновесия система с течением времени стремиться возвратиться к этому состоянию. В случае же неустойчивости система далеко отклоняется от состояния равновесия (уходит из состояния равновесия). Доказывать это я здесь не буду, теорию этого вопроса можно найти в соответствующих главах книг по обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Вернемся к производственной функции (правой части дифференциального уравнения). Она представляет собой параболу, направленную вершиной вверх (и смещенную вправо). Точки пересечения с осью OX (то-есть корни уравнения F(x)=0): 0 и a/b (=V). Кстати, это и есть стационарные точки дифференциального уравнения. Абсцисса вершины: a/2b (половина расстояния между этими двумя точками-корнями). Отклонение от первоначальной прямой(F(x)=ax), то-есть закругление и дальнейший загиб графика функции F(x) вниз соответствует известному в микроэкономике закону убывающей отдачи. Понятно, что такому закону могут соответствовать разные виды производящей функции, но квадратичный вид приводит к достаточно просто решаемому дифференциальному уравнению.

Теперь приступим к решению. Идея преобразований такая же, как и в предыдущем случае, для уравнения экспоненциального роста.

Интеграл берется с помощью следующего преобразования дроби (хотя конечно можно посмотреть результат и в справочнике интегралов):

В итоге результат интегрирования обеих частей выражения:

Это есть искомое выражение для x(t). Константа C1 определяет разные решения, различающиеся значениями капитала в некоторый момент времени.

При t стремящемся к бесконечности x, как можно видеть из выражения, стремится к a/b (или к V – емкости рынка).

Теперь рассмотрим интересный вопрос. Что будет, если в модель ввести убыль с постоянной скоростью. В экологии это постоянная квота отлова популяции. В экономике это постоянные издержки плюс фиксированный по величине налог. Итак в каждый отрезок времени мы должны отдать некоторое постоянное количество капитала. То-есть скорость отбора капитала постоянна, обозначим ее как q=Dx/Dt (количество изъятых за некоторый промежуток времени денег, деленное на этот промежуток времени).

Запишем уравнение:

Найдем стационарные точки этого уравнения:

Мы, естественно, использовали формулу для решения квадратного уравнения. Полученные значения действительны (в том математическом смысле, что представляют собой действительные, а не комплексные числа), если подкоренное выражение больше нуля. Только тогда мы имеем два стационарных состояния. При увеличении q стационарные состояния сливаются, далее их (стационарных состояний) нет вообще. Граничное значение q, при котором сливаются стационарные состояния: q=a²/4b=aV/4. Если q меньше этого граничного значения, то есть два стационарных состояния, а если больше – то стационарных состояний вообще нет.

Разберем сперва вариант, когда стационарные состояния есть. По сравнению с предыдущим случаем логистического уравнения (когда q=0), нижнее неустойчивое состояние равновесия поднялось вверх над нулем, а верхнее устойчивое – опустилось вниз ниже a/b=V. Оба стационарных состояния сдвинуты от точки a/2b=V/2 на одинаковое расстояние. Насчет устойчивости – эти утверждения я здесь не доказываю. Можете обратиться к соответствующим главам книг по дифференциальным уравнениям.

Словесно опишу поведение решений уравнения. Если начальное (при t=0) значение x близко к нижнему стационарному состоянию (неустойчивому), то в дальнейшем оно отклонится от него. Если x меньше этого стационарного состояния, то за конечное время x уменьшится до нуля (то-есть капитал фирмы уменьшится до нуля, а популяция животных будет уничтожена). Вообще говоря, мы должны учитывать, что время от времени на функцию x могут действовать какие-то случайные факторы, которые внезапно повлияют на ее значение непредсказуемым образом (например пожар или ограбление при отсутствии страховки, внезапно уменьшающие капитал фирмы). Если такой фактор отбросит значение x ниже величины меньшего стационарного состояния, то это является очень опасной ситуацией, грозящей капиталу фирмы уменьшением до нуля за конечное время.

Если же x чуть-чуть больше меньшего по величине (нижнего) стационарного состояние, то с течением времени x будет отклоняться от нижнего стационарного состояния в верхнюю сторону, пока не приблизится к верхнему стационарному состоянию. Это является математическим аналогом «раскрутки» фирмы от некоторого стартового значения капитала.

Если начальное значение капитала x больше верхнего стационарного состояния, с течением времени оно уменьшится до величины верхнего стационарного состояния.

Если скорость изъятия средств достаточно велика (q>aV/4), стационарных состояний нет вообще, и за конечное время x уменьшится от любого положительного начального значения до нуля (В.И.Арнольд, «Обыкновенные дифференциальные уравнения»,1984).

Найдем теперь непосредственный вид решения (здесь мы выведем его только для случая q<aV/4). Первые шаги решения уравнения таковы (сперва как обычно переносим все члены с x в левую часть, а все члены с t – в правую, а потом интегрируем обе части):

При дальнейшем интегрировании воспользуемся следующим преобразованием знаменателя левой части этого выражения

здесь p и s – два корня квадратного уравнения, получающегося, если приравнять выражение нулю.

Теперь преобразуем числитель, точнее говоря просто единицу так:

Аккуратно произведя интегрирование, мы получим (результат можно получить и используя формулы справочника интегралов, например Г.Б.Двайт «Таблицы интегралов и другие математические формулы» 1973, там же можно найти и формулы, соответствующие случаю большой скорости изъятие капитала q>aV/4, здесь мы результата для этого случая не приводим):

При t, стремящемся к бесконечности, x стремится к величине

так как экспоненты и в числителе и в знаменателе намного превышают слагаемые-константы. Эта величина, как мы помним, является верхним стационарным состоянием.

Теперь рассмотрим следующий интересный вариант – пусть издержки пропорциональны уровню благосостояния, то-есть величине капитала x. Имеются ввиду все издержки, не только налоги (пропорциональные x). В.И.Арнольд для случая экологических задач называет этот вариант пропорциональной квотой отлова.

q_p=-px

Итак, q_pэто пропорциональная квота или пропорциональные издержки. Запишем дифференциальное уравнение, где только пропорциональные издержки (постоянных нет):

Фактически это то же самое уравнение, что уже было (логистическое), только a заменено на (a-p).

Устойчивое стационарное состояние (к которому решение стремится при стремлении времени в бесконечность):

Запишем выражение для скорости отлова популяции (или скорости отъема денег), в устанавливающемся при больших временах стационарном режиме:

Если p=a, то q_p=0 (то-есть в стационарном режиме увеличение относительной доли отнимаемой части капитала приводит к нулевой скорости изъятия капитала).

Если p=0, то q_p=0 (это неудивительно).

Максимум функции q_p(p) достигается при p=a/2. Суммарный коэффициент роста при этом будет равен a-a/2=a/2. Итак оптимальный для пропорционального изъятия случай – когда коэффициент пропорционального изъятия равен половине коэффициента роста.

При этом скорость изъятия такова:

Заметим, что это как раз граничная скорость при постоянном изъятии (см. вариант, рассмотренный выше). Если скорость изъятия не зависит от x, то при превышении скоростью этого значения отрасль или фирма уничтожается за конечное время. Даже приближение снизу к этому рубежу опасно из-за возможных случайных скачков x. В случае же пропорционального изъятия в оптимальном режиме при выходе на стационарный режим достигается как раз такая скорость изъятия.

Заметим сложность контроля за изъятием пропорциональной квоты. Допустим, имеет место такая ситуация – хозяин (владелец поместья) живет в городе, а в его большом поместье в сельской местности живет и размножается стадо согласно вышеописанным законам развития популяции. За стадом следит коллектив пастухов. Допустим, коэффициент рождения в популяции (гипотетический) – 10.5, коэффициент смертности от болезней – 0.5. Суммарный коэффициент роста равен 10.5-0.5=10. Хозяин, знакомый с математической теорией экологии, надеется вести забой скота по правилам пропорциональной квоты с коэффициентом пропорциональности, равным половине от десяти, то-есть 5 (чтоб была максимальная скорость изъятия особей стада при выходе на стационарный режим). Но пастухи могут попытаться обмануть хозяина, заявив, что в стаде имеет место повышенная смертность, равная 4.5 (а не 0.5), и суммарный коэффициент роста не 10, а всего лишь 6. Тогда хозяин должен будет изымать пропорциональную квоту с коэффициентом, равным половине от шести, то-есть всего лишь 3. Мнимую дополнительную смертность с коэффициентом 4 (4.5 – 0.5=4) могут обеспечить сами пастухи, тайно забивая скот и имея с этого выгоду. Так что постоянная квота изъятия менее выгодна в смысле скорости изъятия, но по всей видимости более предпочтительна в смысле простоты контроля.

Рассмотрим еще понятие переменных издержек, пропорциональных приросту продукции (на выходе производящей функции). Обозначим их так:

Q – это скорость изъятия, а справа от знака равенства стоит скорость прироста (результат предельного перехода частного от прироста за промежуток времени и самого этого промежутка, предельный переход – при уменьшении промежутка времени до нуля).

Уравнение получается таким:

Фактически уравнение осталось таким же, изменились лишь постоянные коэффициенты.

Ясно, что при выходе на стационарный режим скорость изменения x (и прирост x, естественно) стремятся к нулю, поэтому такая квота (или налог) будут давать скорость изъятия, также стремящуюся к нулю.

Вернемся к логистическому уравнению

Первый член в правой части – «мультипликаторный», второй – «конкурентное торможение». Можно считать, что скорость изменения x (и сам прирост x) складываются из двух частей:

Можно назвать величину dx₁ доходом, а dx₂ – убылью за счет конкуренции. Заметим еще, что сейчас мы фактически ведем речь о суммарном доходе, который является суммой коэффициентов, отвечающих в случае популяции за рождение и «естественную», неконкурентную убыль особей (смотри выше). Но доход за счет рождения также пропорционален численности популяции, как и суммарный доход (как и неконкурентная убыль).

Если попытаться взимать квоту, пропорциональную доходу (или подоходный налог), то получим такое выражение для скорости изъятия:

Но так как dx₁/dt=ax, то:

То-есть такая квота аналогична квоте, пропорциональной численности популяции. То же самое будет, если попытаться взимать квоту, пропорциональную не доходу (суммарному доходу), а доходу за счет рождения.

Итак квота, пропорциональная доходу (или доходу, отнесенному к промежутку времени, за который он получен, то-есть dx₁/dt), это есть то же самое, что и квота, пропорциональная численности. Только коэффициенты пропорциональности в выражениях этих квот (имеются ввиду R и P) будут, естественно, различными. Соотношение между этими коэффициентами: P=Ra.

Если ввести квоту, в которой скорость изъятия денег является функцией времени, то это может служить моделью возвращения фирмой банковских кредитов.

Углубляться здесь в рассмотрение этого вопроса мы не будем.

В заключение рассмотрим вот какой вопрос. До сих пор мы рассматривали развитие во времени популяции с численностью x (будем использовать экологическую терминологию, но это не важно, популяция рублей, составляющих некую отрасль, как мы выяснили, подчиняется тем же законам, что и популяция животных). Попробуем рассмотреть развитие подпопуляции x₁ как части популяции численностью x.

x₁ – часть популяции (подпопуляция) или некоторая фирма как часть отрасли.

x₂ – оставшаяся часть популяции.

x₁+x₂=x – вся популяция (численность).

Если бы уравнение для изменения x было линейным (уравнение экспоненциального роста), то изменение x₁ подчинялось бы точно такому же уравнению (с тем же коэффициентом роста k).

Сложим эти уравнения:

Но для нелинейного дифференциального уравнения для x (а логистическое уравнение является нелинейным) дело обстоит сложнее. Сформулируем проблему. Зная уравнения для изменения x:

где F(x)-нелинейная функция x, определить уравнение для изменения x₁, как части x (а также возможно и для x₂ – оставшейся части).

Попытаемся действовать так. Будем подбирать уравнения для x₁,x₂ (а также для нескольких частей x: x₁,x₂,x₃,…) так, чтобы при сложении они дали известное уравнение для x.

Два уравнения

при сложении дадут логистическое уравнение для x:

Может возникнуть вопрос: почему мы ввели в уравнениях для x₁ и x₂ одинаковые коэффициенты? Обосновать это можно так: пусть изначально в некоторый момент времени x₁ и x₂ равны. Потребуем от уравнений, описывающих нашу задачу симметрии относительно замены x₁ на x₂. То-есть при замене x₁ на x₂ ничего не должно измениться (имеется ввиду вид системы уравнений). Предложенные уравнения такой симметрией обладают.

Аналогично можно считать x суммой 3-х частей – x₁,x₂,x₃. Три уравнения

при их складывании с использованием формулы

дадут такое же логистическое уравнение.

Заметим, что x₂+x₃ это оставшаяся часть x для x₁, аналогично и для x₂, и для x₃.

И, наконец, для разделения x на 4 части с использованием формулы

получаем систему уравнений для 4-х подпопуляций:

В конечном итоге делаем вывод: динамика части популяции (x₁ есть часть популяции x) и оставшейся части (x₂) описывается системой уравнений:

Мы видим, что одна подпопуляция угнетает другую, причем угнетение учитывается уменьшением линейного коэффициента роста (правда он становится зависимым от численности другой подпопуляции).

K=a-bx₂ – это линейный коэффициент роста для x₁.

Квадратичный коэффициент торможения не изменяется.

Итак, пусть имеются некоторые условия для развития целого (т.е.уравнение динамики). Эти условия не меняются в зависимости от начальных размеров этого целого. Но условия для развития части этого целого оказываются другими (уравнения имеют другие коэффициенты).

В качестве постскриптума сделаем замечание, что мы полагали емкость популяции и емкость рынка постоянными величинами. Но развитие многих отраслей хозяйства, а также человеческих популяций происходит так, что эти емкости являются функциями времени, то-есть с течением времени изменяются (чаще всего в большую сторону – под влиянием научно-технического прогресса и др.). Рассмотрение этих взаимозависимостей – это предмет другого исследования.

Назад на главную страницу.

Скачать файл .doc

Скачать укороченный вариант .doc (без пассажа об уравнении убыли популяции)